Matemática Numérica

Libro: MATEMÁTICA NUMÉRICA.

Autor: Margarita Suarez Alonso

Instituto politécnico nacional – México.

Ministerio de educación superior – Cuba.

 - Ensayo- 

Prologo:

En este libro se desarrollan algunos temas de la disciplina denominada matemática numérica o análisis numérico. Pues la misma es un campo sumamente amplio de la matemática.

En este siglo a causa del impetuoso crecimiento de las veloces computadoras electrónicas, el desarrollo de la matemática numérica es enorme y sus posibilidades de aplicación.

Sean puesto especial énfasis  para la obtención de los principales objetivos que deben de perseguirse en esta disciplina, que son lograr que los estudiantes se apropien de los conceptos fundamentales, sus interpretaciones, sus algoritmos  y aplicaciones.

Introducción a los capítulos:

Este libro comienza como es común con una introducción donde dan ideas generales  sobre la matemática numérica, su definición, ejemplos para ilustrar cuales son algunos de los tipos de problemas en los que se ocupa esta disciplina, concepto de algoritmo, etc.

Principalmente se verá como se trabaja con algoritmos, se estudiaran nociones sobre el cálculo con computadoras y se hará énfasis en la dirección y propagación de errores.  Se verá como la matemática numérica solo tiene valor  conjuntamente en las computadoras digitales  eso se verá en el primer capítulo.

Los capítulos 2 y tres  tratan, respectivamente de la solución aproximada  de las ecuaciones no lineales y de  los sistemas de ecuaciones lineales. En el primero hemos considerado tanto ecuaciones polinomiales  como trascendentes  y el propósito de ambos temas es  desarrollar métodos eficientes para las computadoras.

En el capítulo 3 se trata además de la inversión de matrices.

En el capítulo 4 se dedica a la interpolación polinomial y en la introducción del mismo se explican las razones por las cuales se eligió este tipo de aproximaciones polinomiales dentro de la aproximación, que es problema fundamental de la matemática numérica.

En el capítulo 5 se analiza la derivación e integración numérica y se da mayor importancia a esta ultima por su gran utilidad en las aplicaciones y porque, a diferencia de la primera, es un proceso muy estable.

Debido a la gran amplitud que posee la matemática numérica, se impone a una selección  a los temas de mayor interés.

Introducción General:

Ideas Generales Sobre La Matemática Numérica Y Su Relación Con Las Computadoras:

La matemática numéricos un capo muy amplio de la matemática.  Se le conoce como análisis o cálculo numérico, matemática numérica, cálculo computacional y métodos de computación. La matemática numérica recorre desde las aéreas de la matemática más puras hasta las más aplicadas en los problemas concretos.

Uno de los intereses centrales de las ciencias de la computación es el análisis de los algoritmos  o el estudio de estos.

Un algoritmo es un conjunto completo de  y bien definido de procedimientos que conducen a una solución de un problema matemático. También se le ah considerado como un conjunto ordenado y finito de operaciones de cierto tipo, (por ejemplo: algebraicas, aritméticas, etc.), tal que el proceso resultante para procesos continuos.

Para ilustrar cuales son algunos de los tipos de problemas de que se ocupa la matemática numérica, daremos algunos ejemplos. Consideremos el problema  de la resolución de las ecuaciones polinomiales. La ecuación cuadrática nos resulta familiar y es bien conocida la fórmula para resolverla. Dicha fórmula, más que la mera existencia de la solución, indica un algoritmo que nos permite calcular la solución, es decir el problema de calcular la solución queda reducido al problema, aun mas simple, de calcular una raíz cuadrada. Si disponemos de cualquier medio para calcular raíces entonces cualquier ecuación cuadrática puede resolverse.

 Durante varios siglos se estuvieron haciendo intentos para calcular ecuaciones de grado mayor que el cuarto, de un modo análogo, pero todos los esfuerzos fueron inútiles. Finalmente, Galois (1811-1832) probo que en los caso n>4 no es posible calcular las soluciones  de estas ecuaciones con formulas donde solo se calculen raíces. Este es un caso típico de la no existencia de algoritmos.

Las ecuaciones de grado superior al cuarto aparecen con frecuencia en problemas técnicos y científicos. Por ejemplo en la aerodinámica aplicada, en el estudio de las condiciones de estabilidad de un avión, interviene una ecuación de octavo grado.

Pero que un problema no pueda resolverse con un algoritmo de cierto tipo, no significa que no pueda resolverse. La cuestión se reduce al descubrimiento de un nuevo algoritmo. Actualmente la matemática numérica cuenta con magníficos algoritmos para aproximar, con la precisión requerida, las raíces  de las ecuaciones de grado superior al cuarto y de las ecuaciones trascendentes.

El principal objetivo de la matemática es desarrollar algoritmos cada vez más eficientes desde el punto de vista del cómputo.

Reseña histórica:

Los orígenes de la matemática numérica son muy antiguos, datan de miles de años a tras. Los babilonios 2000 anos  a.n.e.,  construyeron tablas matemáticas.

Arquímedes en el año 200 a.n.e., uso los polígonos regulares como aproximaciones del círculo. Desde entonces hasta el siglo XVI produjo una renovada actividad en toda la matemática. En 1614 Neper publico la primera tabla de logaritmos  yen  1620 los logaritmos de las funciones seno y tangente fueron tabulados con siete cifras decimales. Alrededor de 1628 ya se habían calculado tablas de logaritmos con 14 cifras decimales de 1 a 100000.

Hacia a fines del siglo XVII empezó a florecer el cálculo con series, en este periodo son fundamentales las contribuciones de newton. Su método para aproximar raíces  de ecuaciones algebraicas y trascendentes es usa aun actualmente.  El punto culminante de esta edad clásica fue se alcanzo, quizá con el trabajo de Euler 1707-1783. Sus algoritmos infinitos aparecen frecuentemente en la forma de desarrollarse en serie.

A principios del siglo XVIII, James Stirling y Brook Taylor sentaron los fundamentos del cálculo de diferencias finitas, que hoy desempeña un importantes papel en la matemática numérica, a mediados del siglo aparece la regla del Simpson para la aproximación de integrales definidas.

Posteriormente están las importantes aportaciones de Gauss 1777-1855; solución del sistema de ecuaciones lineales, cuadratura numérica, aproximación de funciones, también Lagrange aporto un método para aproximaciones por polinomios.

En el presente siglo, a causa del impetuoso desarrollo de las más veloces computadoras electrónicas, el desarrollo de la matemática numérica  es enorme, por lo que resultaría innumerable la enumeración de los matemáticos que se dedican actualmente a esta disciplina.

Calculo con computadoras:

La historia del desarrollo de los aparatos de cálculo es tan antigua  como la historia de la propia matemática.

Es muy interesante seguir el desarrollo de la matemática numérica y los medios del cálculo en el transcurso de los siglos.

Actualmente hay muchos tipos de computadoras que permiten realizar cálculos, algunos millones de veces mas rápidos  que las modernas computadoras electrónicas que empezaron a utilizarse alrededor del año de 1945.

Clasificación:

Las computadoras se dividen en dos clases fundamentales: digitales y analógicas.

Las computadoras digitales pueden ser definidas como maquinas que ejecutan operaciones aritméticas: adición, sustracción, multiplicación y división. El ejemplo más simple es el Abaco.

Claro está que las computadoras digitales modernas son incomparables, por su complejidad, con le ábaco: pero ambos  son dispositivos digitales que trabajan con números. La complejidad de la computadora digital depende fundamentalmente de los métodos de memorización, manipulación y utilización de instrucciones numéricas.

En el sentido amplio de la palabra, la denominación computadora  analógica  significa un dispositivo que trabaja con cantidades que son análogas a otras, dadas en el problema que se quiere resolver. Aún que la palabra análogo no aplica el concepto de continuidad, por computadoras análogas se entiende aquellas maquinas que trabajan con cantidades continuas. El ejemplo más simple de computadoras análogas lo constituye la regla del cálculo.

Computadoras digitales:

Los componentes básicos de las computadoras digitales son:

Memoria.

Unidad aritmética.

Unidad de control.

Dispositivo de entrada y salida de la información.

Conclusión y comentarios:

Este libro realmente abarca muchos temas relacionados al cálculo matemático  moderno en la computación, es decir este libro nos deja ver varias opciones para encontrar mejores algoritmos al momento del análisis numérico. Antes que nada nos da a conocer métodos muy útiles en su aplicación a diversas ramas, algunos de los métodos más sobresalientes a mi punto de vista fueron: los métodos de aproximación de ecuaciones no lineales y métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de inversión de matrices.

El libro primero nos enseña como hacer le calculo analíticamente por medio de un método simple y comprobado y después nos da la idea de un algoritmo computacional por medio de un mapa de árbol o diagrama de bloques, con los cuales es más fácil plasmarlo en la computadora.

Realmente es necesario ver la importancia que tienen estos métodos numéricos computacionales, ya que con ellos la mayoría de los cálculos se vuelven más sencillos   y menos laboriosos una vez ya plasmados; por que cuando se tiene un programa ya determinado para la resolución de algoritmos, solo es cuestión de introducir valores para llegar a resultados más exactos que con un cálculo sin una computadora, sin mencionar que el porcentaje de error o rango de este, puede lograr a disminuir notablemente, con un algoritmo computacional.

La computación nos abre muchas puertas y más que nada nos facilita las operaciones matemáticas y poco a poco se podrá simplificar a un más esto algoritmos matemáticos para una mejor utilización y mayor efectividad en el área ocupacional.

 La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles.

 René Descartes (1596-1650) Filósofo y matemático francés